|
||||||||
Какой брокер лучше? Альпари Just2Trade R Trader Intrade.bar Сделайте свой выбор! | ||||||||
Какой брокер лучше? Just2Trade Альпари R Trader | ||||||||
1.2.5.4. Риск портфеля из двух активов с минимальной дисперсиейНайдем уд. веса активов для портфеля с минимальной дисперсией. В таком портфеле вх =\-ву. Учитывая это, выразим равенство (1.22) через уд. вес 0Y:
Продифференцируем полученное выражение по GY:
Раскроем скобки и приравняем производную к нулю, чтобы найти минимум функции:
Отсюда:
Выражение (1.28) представляет собой минимум функции, поскольку вторая производная сгр по ву является величиной положительной.
Таким образом, при портфель с минимальной дисперсией должен быть представлен только бумагой X. Пусть , тогда числитель и знаменатель выражения (1.28) будут величинами положительными, и при этом знаменатель больше числителя. Отсюда следует, что для отмеченного условия портфель с минимальной дисперсией формируется без осуществления короткой продажи одного из активов. Если , числитель равенства (1.28) меньше нуля, т.е. уд. Вес бумаги Y является отрицательной величиной. Поэтому портфель с минимальной дисперсией включает короткую продажу этого актива. При нулевой корреляции доходностей двух активов из равенства (1.28) получим уд. вес бумаги Y портфеле с минимальной дисперсией как:
При из (1.29) следует, что дисперсия портфеля с минимальным риском равна дисперсии актива X, поскольку уд. вес актива Y должен быть равен нулю. Тогда при дисперсия портфеля меньше риска актива X. Таким образом, объединение двух активов с данной характеристикой позволяет получить дисперсию портфеля, которая меньше дисперсии каждого из входящих в него активов. Данный результат достигается без короткой продажи одного из активов. Если , дисперсия портфеля будет больше дисперсии актива X. Для того, чтобы дисперсия портфеля оказалась меньше дисперсии актива X необходимо осуществить короткую продажу актива F. Так, при corrXY = 1 формула (1.28) дает результат:
ИЛИ
Соответственно . Поскольку , то формирование портфеля с минимальной дисперсией требует короткой продажи актива F. Дисперсия портфеля с такими уд. весами активов будет минимальной и равной нулю. Мы рассмотрели риск портфеля для случаев корреляции доходностеи активов +1, -1 и нулевой корреляции. Как следует из рассуждений, риск портфеля тем меньше, чем меньше корреляция доходностеи входящих в него активов. Поэтому инвестору следует объединять в портфель бумаги с наименьшей корреляцией. В этом случае он может снизить ожидаемый риск портфеля, не уменьшая его ожидаемой доходности. Поясним сказанное на примере. Пример. Имеются бумаги А и В с одинаковой ожидаемой доходностью 20% и бумаги С и D с доходностью 30%. Корреляция доходностеи бумаг А и С равна 0,8, бумаг В и D составляет 0,4. Инвестор может сформировать первый портфель из бумаг А и С и второй портфель из бумаг В и D. Бумаги с доходностью 20% он включает в портфели в уд. весе 0,3, а бумаги с доходностью 30% в уд. весе 0,7. Ожидаемая доходность и первого и второго портфеля одинакова и согласно формуле (1.1) равна:
Риск первого портфеля составляет:
Риск второго портфеля равен:
Таким образом, рациональный инвестор в нашем случае остановится на втором портфеле, так как он предлагает такой же уровень ожидаемой доходности, что и первый портфель, однако его риск меньше риска первого портфеля. Чтобы лучше представить идею и эффект диверсификации портфеля при различной корреляции доходностей активов, мы рассмотрели риск портфеля, состоящего только из двух бумаг. Общие выводы, которые можно сделать по результатам вышесказанного состоят в следующем:
Основоположником современной теории портфеля является Г.Марковиц. Именно он предложил объединять активы с наименьшей корреляцией, чтобы снизить риск портфеля. Согласно Марковцу, чем меньше корреляция доходностей бумаг в портфеле, тем больше степень его диверсификации. Следует отметить, что диверсификация позволяет снизить риск портфеля для обычной конъюнктуры рынка. В условиях финансовых крахов сложившиеся корреляции между доходностями активов нарушаются, и динамика их доходностей будет такова, как если бы они имели корреляцию +1.
|
||||||||
|