3.3. Модель У.Шарпа. 3.3.1. Диагональная модель

Ожидаемую доходность актива можно определить не только с помощью уравнения SML, но также на основе так называемых индексных моделей. Их суть состоит в том, что изменение доходности и цены актива зависят от ряда показателей, характеризующих состояние рынка, или индексов.

Простая индексная модель была предложена У.Шарпом в середине 60-х годов. Цель ее разработки состояла в том, чтобы упростить процесс определения эффективной границы Марковца, сократив количество необходимых вычислений. У.Шарп назвал модель диагональной, В модели представлена зависимость между доходностью актива и значением рыночного индекса. Она предполагается линейной. Уравнение модели можно записать как:

Случайную компоненту доходности at можно разделить на две части:

y_i является константой и представляет собой ожидаемую доходность актива при отсутствии воздействия на него рыночных факторов. e_i - это собственно случайная величина со средним значением равным нулю. С учетом сказанного модель принимает вид:

где ?. - независимая случайная переменная (ошибка): она показывает специфический риск актива, который нельзя объяснить действием рыночных сил. Значение ее средней равно нулю, дисперсия постоянна, ковариация со значением рыночного индекса равна нулю; ковариация с нерыночным компонентом доходности других активов равна нулю, т.е. . В силу центральной предельной теоремы е. распределена нормально, поскольку на нее оказывает влияние большое количество разных факторов.

По условиям модели ожидаемое значение величины е. равно нулю. Поэтому на основе формулы (3.16) ожидаемое значение доходности актива E(r_i) определяется как:

Модель получила название диагональной, поскольку риск портфеля можно представить с помощью ковариационной матрицы, в которой все значения равны нулю, кроме значений, расположенных на главной диагонали. Поясним сказанное.

Доходность портфеля равна:

Подставим в формулу (3.17) формулу (3.16):

ИЛИ

На основе формулы (3.18) дисперсия доходности портфеля равна:

или

Формулу (3.19) можно записать в матричной форме как:

Из выражения (3.20) видно, что в ковариационной матрице по главной диагонали стоят дисперсия рыночного индекса и дисперсии специфических рисков активов портфеля. Остальные значения матрицы равны нулю.

Содержание

Далее