Что такое фондовая биржа Как торговать на бирже
Binomo
Как стать успешным трейдером Стратегии биржевой торговли Лучшие дилинговые центры Forex Лучшие биржевые брокеры
Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Это добротная книга по теории оптимального портфеля. Написана достаточно академично, поэтому требует определенного уровня подготовленности читателя. Большое достоинство книги в том, что автор приводит конкретные примеры вычислений тех или иных параметров портфеля в Excel. Это делает ее актуальной для практического использования.

Какой Форекс-брокер лучше?          Альпари          Exness          Forex4you          Сделай свой выбор!

4.7. Определение оптимального портфеля с помощью линейного программирования

Задача линейного программирования возникает при линейности целевой функции и ограничений. Линейное программирование можно использовать для определения оптимального портфеля, если задать риск активов и портфеля коэффициентами бета и поставить задачу максимизировать доходность портфеля при данном уровне риска. В этом случае как целевая функция, так и ограничения линейны. Рассмотрим использование метода линейного программирования на примере формирования оптимального портфеля из трех акций.

Пример 1.

Ожидаемая доходность первой бумаги равна 16%, второй - 20%, третьей -22%. Бета первой бумаги составляет 0,6, второй - 1, третьей - 1,2. Определить уд. веса бумаг в портфеле, чтобы его ожидаемая доходность была максимальной и бета не превышала 1,1. Веса бумаг в портфеле могут быть только неотрицательными. Заимствование средств не разрешено.

Решение.

Ожидаемая доходность портфеля равна:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Бета портфеля не должна превысить значение 1,1. Поэтому риск портфеля запишем как неравенство:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Сумма всех уд. весов в портфеле равна единице:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Уд. вес каждой бумаги должен быть не меньше нуля и не больше единицы:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

В задаче функция (4.29) является целевой. Она подлежит максимизации. Ограничениями выступают условия (4.30)-(4.32). Таким образом, постановку задачи можно записать как:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Решим задачу графически. Чтобы представить решение на плоскости, выразим уд. вес первой бумаги из ограничения (4.31):

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

и подставим его в целевую функцию и другие ограничения:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

или

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

В целевой функции присутствует константа - число 16. Она не влияет на получение оптимального решения, поскольку прибавление константы к функции не изменяет точку ее максимума. Поэтому исключим ее из целевой функции. Условия задачи запишутся как:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Представим на графике ограничивающие функции, записав их как равенства (см. рис. 4.20). Все возможное множество портфелей, отвечающее ограничениям задачи, расположено внутри четырехгранника abco. Теперь необходимо представить на графике линии уровня, соответствующие разным значениям доходности портфеля. Оптимальный портфель будет расположен в точке касания допустимого множества портфелей abco и линии уровня, которая расположена как можно дальше от начала координат вправо и вверх. Для иллюстрации проведем на графике одну линию уровня, соответствующую ожидаемой доходности портфеля 17%. Поскольку целевую функцию мы уменьшили на 16, то такая линия уровня имеет вид:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Если двигать ее по направлению вправо и вверх, то получим точку касания допустимого множества abco и линии уровня. Это точка b. Она показывает уд. веса второй и третьей бумаг в оптимальном портфеле. Точка b расположена на пересечении прямых

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

и

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Поэтому уд. веса бумаг найдем решив систему уравнений:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Отсюда:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Из равенства (4.31) делаем вывод, что вх = 0.

Общий метод решения задач линейного программирования - это симплекс-метод. Он имеет итерационный характер. Определяются значения неизвестных и подставляются в целевую функцию. Если значения целевой функции можно улучшить, то вычислительные действия повторяют и находят новые значения неизвестных. Их вновь подставляют в целевую функцию. Действия повторяются до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение, т.е. когда уже нельзя улучшить значение целевой функции.

Пример 2.

Решим задачу в примере 1 симплекс-методом. Как и примере 1 постановка задачи имеет вид:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

В симплекс-методе от условий неравенств переходят к равенствам, вводя добавочные переменные. Введем добавочную переменную у > 0 и запишем условие (4.35) как равенство:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Тогда имеются два ограничивающие равенства:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Все переменные делят на базисные и свободные. Базисные переменные выражают через свободные. Количество свободных переменных равно разности между общим числом переменных и числом ограничивающих уравнений. Общее число переменных в задаче равно четырем - 0,, 02, 03, у, - а ограничивающих уравнений два. Поэтому получаем две свободные и две базисные переменные. Выберем в качестве базисных переменных 03 и у. Тогда свободными переменными будут 0, и 02.

Из целевой функции необходимо исключить базисные переменные, выразив их через свободные. Тогда:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

или

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Выразим базисные переменные через свободные:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

или, подставив значение 03 из (4.39) в (4.38):

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

На каждом шаге поиска решения значения свободных переменных принимают равными нулю и определяют значения базисных переменных. Поэтому положим значения свободных переменных равными нулю: вх = 0; 02 = 0 Тогда из равенств (4.40) и (4.41): у = -0,1; 03 =1. Таким образом, получаем первое возможное решение:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг


А знаете ли Вы, что: компания Verum Option предлагает своим клиентам 7 различных видов опционов на более чем 200 различных активов.

С уважением, Админ.


Однако данное решение является недопустимым, так как величина у получилась отрицательной, что противоречит введенному условию ее не отрицательности. Следовательно, ее необходимо перевести в разряд свободных переменных, взяв вместо нее новую базисную переменную: вх или в2. Какую из них следует перевести в разряд свободных? В равенстве (4.40) большую угрозу для получения отрицательности величины у представляет #2, поскольку ее коэффициент меньше чем у вх. Это значит, что, при текущем значении вх = 0 при увеличении значения в2 величина у будет с меньшей скоростью уходить от отрицательности, чем в случае увеличения вх приняв в2=0. Поэтому новой свободной переменной делаем в2. Выражаем новые базисные переменные из равенств (4.40) и (4.41) через свободные:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

или, подставив (4.42) в (4.43):

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Исключаем из целевой функции базисные переменные, выразив их через свободные:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

или

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

Положим значение свободных переменных равными нулю. Из (4.44) и (4.45) получаем решение:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

При этих значениях переменных значение целевой функции равно:

Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг

В максимизируемой функции (4.46) нет переменных с положительным знаком. Следовательно, решение нельзя улучшить. Поэтому, для получения максимальной доходности портфеля при введенных ограничениях необходимо купить только вторую и третью бумаги в равных уд. весах. При этом ожидаемая доходность портфеля составит 21%.
Содержание Далее

Что такое фондовая биржа
Яндекс.Метрика