8.1.4. Коэффициенты абсолютной и относительной не склонности к риску

Склонность инвестора к риску определяется выпуклостью функции полезности. Поэтому в качестве меры не склонности к риску можно взять показатели, которые бы говорили о ее выпуклости. Используют два показателя: коэффициент абсолютной не склонности к риску и относительной не склонности к риску.

Коэффициент абсолютной не склонности к риску называют мерой Эрроу-Пратта (Arrow-Pratt). Для небольших значений риска он показывает величину компенсации, которую требует инвестор за принимаемый риск. Он равен:

Первая производная функции в некоторой точке определяет наклон кривой в этой точке, вторая производная - изменение наклона кривой в этой точке. Таким образом, коэффициент А представляет собой относительное изменение наклона функции полезности в каждой данной точке, т.е. изменение наклона кривой при изменении уровня богатства на небольшую величину, деленное на величину наклона кривой в этой точке. Поскольку предельная полезность инвестора не склонного к риску является величиной убывающей, то вторая производная функции полезности отрицательна. Поэтому, чтобы сделать коэффициент не склонности к риску величиной положительной, в формуле (8.9) ставим знак минус. Чем больше значение второй производной (по абсолютной величине), тем выпуклее функция. Поэтому большее значение коэффициента характеризует большую не склонность инвестора к риску.

Если по мере роста богатства инвестор направляет все больше средств в рискованные активы, то он характеризуется убывающим коэффициентом абсолютной не склонности к риску. Если сумма средств, размещаемых в рискованные активы, остается неизменной, его коэффициент является постоянным. При уменьшении инвестиций в рискованные активы по мере роста богатства коэффициент является возрастающим.

Между премией за риск Марковца для небольших значений риска и коэффициентом абсолютной не склонности к риску можно установить определенную зависимость. Пусть инвестор располагает богатством w0 и приобретает на него рискованный актив S (величина w₀ = S), ожидаемый доход которого равен нулю. Полезность, соответствующая такой стратегии инвестора, равна:

В выражении (8.10) величину s следует понимать как случайную переменную (доход по активу), которая может принести как положительный, так и отрицательный результат к его начальному богатству w₀. Таким образом, полезность является функцией текущего уровня богатства и случайной переменной, определяющей доход актива.

Разложим выражение (8.10) в ряд Тейлора в окрестности точки w₀ до слагаемого второй степени:

Возьмем математическое ожидание от обеих частей выражения (8.11):

ИЛИ

В правой части выражения (8.12) второе слагаемое равно нулю, поскольку нулю равен ожидаемый доход актива, т.е. E(s) = 0. В третьем слагаемом элемент E(s²) представляет собой не что иное как , т.е. дисперсию дохода актива S. Поэтому выражение (8.12) принимает вид:

Пусть гарантированной эквивалентной суммой для ожидаемого дохода рискованного актива S выступает величина (w₀-z), где z можно рассматривать как сумму страховки, которую готов уплатить инвестор, чтобы исключить риск. Полезность данной суммы для инвестора равна:

Разложим выражение (8.14) в ряд Тейлора в окрестности точки w₀ до первых двух слагаемых:

Величина (w₀ - z) является для инвестора гарантированной эквивалентной суммой ожидаемого дохода рискованного актива S. Поэтому ожидаемая полезность владения активом и полезность гарантированной эквивалентной суммы равны, т.е.:

В результате можно приравнять выражения (8.13) и (8.15):

или

или

Представленные выше рассуждения можно рассматривать и как вывод коэффициента абсолютной не склонности к риску. Так, величина z представляет собой разность между начальным богатством инвестора w₀ и уровнем богатства, соответствующим гарантированной эквивалентной сумме - обозначим ее через w_c. Поэтому, z = w₀ - w_c. Данная величина измеряет абсолютную не склонность инвестора к риску. Чем она больше, тем менее он склонен к риску, поскольку в этом случае рискованный актив должен предложить ему более значительный ожидаемый доход по сравнению с величиной w_c, чтобы он был безразличен в выборе между рискованным активом и гарантированной эквивалентной суммой. В выражении (8.16) для каждого данного рискованного актива сомножитель является постоянной величиной. Поэтому абсолютную не склонность риска инвестора можно измерить отношением второй и первой производной его функции полезности, т.е.: . Можно также отметить, что если функции полезности инвесторов отличаются только на некоторую константу, то их коэффициенты абсолютной не склонности к риску будут одинаковыми, поскольку такие функции имеют одинаковые производные.

Коэффициент, обратный коэффициенту Эрроу-Пратта называют коэффициентом допустимости риска. Он равен:

Еще одной мерой не склонности инвестора к риску является относительный коэффициент не склонности к риску Эрроу-Пратта. Его можно рассматривать как отношение абсолютной величины не склонности к риску инвестора к его начальному богатству. Получим формулу данного коэффициента на основе рассуждений, которые были использованы применительно к выводу коэффициента абсолютной не склонности к риску.

Для начального уровня богатства w₀ и гарантированной эквивалентной суммы w_c абсолютную не склонность к риску мы обозначили как z = w₀-w_c. Поэтому относительная не склонность к риску есть величина (z') равная:

т.е. это отношение абсолютной величины не склонности к риску к начальному уровню богатства. Величина z' есть не что иное как премия за риск, представленная как превышение доходности рискованного актива над ставкой без риска. Выразим из (8.17) абсолютную не склонность к риску:

Доходность, приносимая рискованным активом r_s, равна:

Выразим из (8.19) доход по активу:

Выше мы записали равенство:

Подставим в него значения z и s из (8.18) и (8.20):

Разложим величину U(w₀ + w₀r_s) в ряд Тейлора в окрестности точки w₀ до слагаемого второй степени:

Возьмем математическое ожидание от этого выражения:

ИЛИ

ИЛИ

В правой части выражения (8.22) второе слагаемое равно нулю, поскольку E(s) = 0 И, следовательно E(r_s)=0. В третьем слагаемом элемент Е(r_s²) представляет собой не что иное как , т.е. дисперсию доходности актива S. Поэтому выражение (8.22) принимает вид:

Разложим выражение U(w₀ - w₀z') в ряд Тейлора в окрестности точки w₀ до первых двух слагаемых:

На основе равенства (8.21) приравняем правые части выражений (8.23) и (8.24):

ИЛИ

или

В выражении (8.25) сомножитель является постоянной величиной. Поэтому относительную не склонность риска инвестора (R), опустив коэффициенты при параметре w, можно определить как:

Слава Україні!

Адмін сайту, який є громадянином України та безвиїзно перебуває в Україні на протязі всього часу повномасштабної російської агресії, зичить щастя та мирного неба всім українським хлопцям та дівчатам! Також він рекомендує українським трейдерам кращих біржових та бінарних брокерів, що мають приємні торгові умови та не співпрацюють з російською федерацією. А саме:

Exness – для доступу до валютного ринку;

RoboForex – для роботи з CFD-контрактами на акції;

Deriv – для опціонної торгівлі.

Ну, і звичайно ж, заборонену в росії компанію Альпарі, через яку Ви маєте можливість долучитися як до валютного ринку, так і до торгівлі акціями та бінарними опціонами (Fix-Contracts). Крім того, Альпарі ще цікава своїми інвестиційними можливостями. Дивіться, наприклад:

рейтинг ПАММ-рахунків;

рейтинг ПАММ-портфелів.

Все буде Україна!

Коэффициент абсолютной не склонности к риску можно рассматривать как показатель, который говорит о процентном изменении предельной полезности при абсолютном изменении богатства инвестора. В свою очередь, коэффициент относительной не склонности к риску можно рассматривать как показатель, который говорит о процентном изменении предельной полезности при процентном изменении богатства инвестора. Проиллюстрируем сказанное, преобразовав формулы (8.9) и (8.26). Соответственно для коэффициентов абсолютной и относительной не склонности к риску получим результаты:

Если функция полезности характеризуется убывающей не склонностью к риску, то для нее А' < 0. Это означает, что по мере роста богатства инвестор все больше средств направляет в рискованные активы. При постоянном значении не склонности к риску А' = 0, и, следовательно, при росте богатства инвестор держит прежнее количество средств в рискованных активах. Для функции полезности с возрастающим коэффициентом не склонности к риску А' > 0, поэтому с ростом богатства инвестор уменьшает количество средств в рискованных активах.

Если функция полезности характеризуется убывающей относительной не склонностью к риску, то для нее R' < 0. Следовательно, инвестор увеличивает пропорцию средств в рискованных активах по мере роста его богатства. При постоянном значении относительной не склонности к риску Д' = 0. Поэтому процент средств, инвестированных в рискованные активы, остается неизменным. Для функции полезности с возрастающим коэффициентом относительной не склонности к риску R' > 0. В этом случае процент инвестированных в рискованные активы средств уменьшается с ростом богатства.

В качестве функций полезности инвестора можно выделить следующие:

Из представленных трех функций в наименьшей степени для характеристики не склонного к риску инвестора подходит квадратичная функция, поскольку оба коэффициента по мере роста богатства являются возрастающими. Это говорит о том, что инвестор с ростом богатства становится все менее склонным к риску. Такое поведение не совсем соответствует действительности, поскольку по мере роста богатства инвестор не склонный к риску готов все больше инвестировать средства в рискованные активы. Кроме того, как видно из рис. 8.7, график квадратичной функции вначале возрастает до максимального значения полезности для богатства на уровне w_m и после этого убывает. Точку w_m можно найти следующим образом. Выше мы определили, что первая производная функции полезности по богатству равна:

Чтобы найти максимум функции, приравняем ее к нулю:

Отсюда:

Таким образом, при росте богатства инвестора свыше уровня предельная полезность богатства становится отрицательной. В результате убывает общий уровень полезности, что противоречит здравому смыслу, поскольку дополнительное богатство открывает дополнительные возможности для удовлетворения потребностей в разных областях. Если можно допустить полное насыщение вследствие потребления какого-либо товара или услуги и предположить отрицательный эффект от его дальнейшего потребления, то этого нельзя сказать одновременно о всех товарах и услугах. Поэтому рост богатства должен вести к большему уровня полезности. Соответственно необходимо ограничить интервал применения функции отрезком .

Содержание

Далее