Приложение 1. Определение формы функции полезности инвестора

Определим форму функции полезности инвестора не склонного к риску. Инвестор приобретает рискованный актив 5, текущая цена которого равна S. В следующий момент в результате изменения конъюнктуры его цена с равной вероятностью может составить величину (S + x) или (5-х). Ожидаемый доход актива E(s) равен:

Полезность гарантированной суммы равной ожидаемому доходу на основе (П.8.1) составляет:

Ожидаемая полезность покупки актива равна:

Для инвестора не склонного к риску справедливо неравенство:

или, подставляя в (П.8.4) результаты (П.8.2) и (П.8.3):

Разложим правую часть неравенства (П.8.5) в ряд Тейлора в окрестности точки равной ожидаемому доходу актива, т.е. S:

Устремим значение х к нулю. Тогда в (П.8.6) слагаемыми более высокого порядка можно пренебречь и (П.8.6) принимает вид:

Подставим полученный результат в (П.8.5):

В (П.8.8) слагаемые U(S) в правой и левой частях неравенства одинаковые. Следовательно, чтобы оно выполнялось, величина должна быть отрицательной. Так как , то отрицательной является вторая производная функции полезности . Отрицательность второй производной функции на участке говорит о том, что она является выпуклой вверх на этом участке.

Знаете ли Вы, что: до 23-го апреля 2021 года Вы можете купить доллары по курсу: $1 = 60 руб., участвуя в специальной акции от компании Альпари!

Для инвестора склонного к риску справедливо неравенство:

С учетом результатов (П.8.2) и (П.8.7) оно принимает вид:

Чтобы условие (П.8.9) выполнялось, величина должна быть больше нуля. Положительное значение второй производной функции на участке говорит о том, что она является выпуклой вниз на этом участке. Для инвестора безразличного к риску справедливо равенство:

С учетом результатов (П.8.2) и (П.8.7) оно принимает вид:

Поскольку , ТО ДЛЯ выполнения условия (П.8.10) величина U'(S) должна быть равна нулю. Нулевое значение второй производной на участке говорит о том, что график функции представляет на ней прямую линию.

Содержание

Далее