Приложение 2. Вывод условий стохастического доминирования портфеля

Условия стохастического доминирования первого порядка (8.54)-(8.55) можно получить на основе следующих рассуждений.

Пусть первый портфель с функцией распределения доходности F приносит инвестору большую полезность по сравнению со вторым портфелем с функцией распределения доходности G . Поэтому:

или

или

Проинтегрируем интеграл (П.8.12) по частям. Обозначим u = U(r) и dw = d[F(r)-G(r)]. Отсюда w = F(r)-G(r). Тогда:

Согласно свойствам функций распределения значения вероятностей в крайних точках равны F(r_n) = G(r_n) = 1 и F(r₁) = G(r₁) = 0. Поэтому первое слагаемое в правой части (П.8.13) равно нулю. Для выполнения условия (П.8.11) необходимо, чтобы интеграл в правой части (П.8.13) был отрицательным. Поскольку функция полезности инвестора возрастающая и U'(r) > 0, то выражение F(r)-G(r) должно быть меньше нуля. Отсюда следует, что F(r) <= G(r) для всех r и F(r) < G(r) по крайней мере для одного значения r.

Критерий стохастического доминирования второго порядка можно получить на основе следующих рассуждений.

Первый актив приносит инвестору большую полезность, поэтому:

При доказательстве критерия доминирования первого порядка для данного условия мы получили результат (П.8.13), из которого следовало, что:

Для удобства обозначим интеграл (П.8.14) через I и проинтегрируем его по частям. Обозначим u = U'(r) и dw=[F(r)-G(r)]dr. Отсюда

или

или

По условию U'(r_n) > 0, поэтому, чтобы первое слагаемое в правой части (П.8.15) было отрицательным, необходимо выполнение условия:

или

По условию U"(r_п) < 0, поэтому, чтобы второе слагаемое в правой части (П.8.15) было положительным, необходимо выполнение условия:

для всех r и

по крайней мере для одного r. Отсюда следует вывод:

для всех r и

по крайней мере для одного r.

Критерий стохастического доминирования третьего порядка можно получить на основе следующих рассуждений.

Первый актив приносит инвестору большую полезность, поэтому:

При доказательстве критерия доминирования второго порядка для данного условия мы получили результат (П.8.15), из которого следовало, что:

Проинтегрируем второй интеграл в (П.8.16) по частям, обозначив его через J. Обозначим также . Отсюда , z располагается в диапазоне от r₁ до r_n. Тогда:

ИЛИ

Подставим интеграл (П.8.17) в (П.8.16):

В первом слагаемом неравенства (П.8.18) U'(r) > 0. Интеграл представляет собой разность между средними значениями распределения доходности F и G. По условию среднее значение F меньше G , поэтому интеграл отрицательный. В результате первое слагаемое в (П.8.18) отрицательное. Во втором слагаемом U"(r_n) < 0. Следовательно, для того, чтобы оно было положительным, двойной интеграл должен быть отрицательным. В третьем слагаемом U'''(r_n) > 0. Чтобы оно было отрицательным, необходимо, чтобы второй интеграл был отрицательным. Таким образом (П.8.18) меньше нуля, если:

Содержание

Далее