Приложение 2. Вывод условий стохастического доминирования портфеля

Условия стохастического доминирования первого порядка (8.54)-(8.55) можно получить на основе следующих рассуждений.

Пусть первый портфель с функцией распределения доходности F приносит инвестору большую полезность по сравнению со вторым портфелем с функцией распределения доходности G . Поэтому:

или

или

Проинтегрируем интеграл (П.8.12) по частям. Обозначим u = U(r) и dw = d[F(r)-G(r)]. Отсюда w = F(r)-G(r). Тогда:

Согласно свойствам функций распределения значения вероятностей в крайних точках равны F(r_n) = G(r_n) = 1 и F(r₁) = G(r₁) = 0. Поэтому первое слагаемое в правой части (П.8.13) равно нулю. Для выполнения условия (П.8.11) необходимо, чтобы интеграл в правой части (П.8.13) был отрицательным. Поскольку функция полезности инвестора возрастающая и U'(r) > 0, то выражение F(r)-G(r) должно быть меньше нуля. Отсюда следует, что F(r) <= G(r) для всех r и F(r) < G(r) по крайней мере для одного значения r.

Критерий стохастического доминирования второго порядка можно получить на основе следующих рассуждений.

Первый актив приносит инвестору большую полезность, поэтому:

При доказательстве критерия доминирования первого порядка для данного условия мы получили результат (П.8.13), из которого следовало, что:

Для удобства обозначим интеграл (П.8.14) через I и проинтегрируем его по частям. Обозначим u = U'(r) и dw=[F(r)-G(r)]dr. Отсюда

или

или

По условию U'(r_n) > 0, поэтому, чтобы первое слагаемое в правой части (П.8.15) было отрицательным, необходимо выполнение условия:

или

По условию U"(r_п) < 0, поэтому, чтобы второе слагаемое в правой части (П.8.15) было положительным, необходимо выполнение условия:

для всех r и

по крайней мере для одного r. Отсюда следует вывод:

для всех r и

по крайней мере для одного r.

Критерий стохастического доминирования третьего порядка можно получить на основе следующих рассуждений.

Слава Україні!

Адмін сайту, який є громадянином України та безвиїзно перебуває в Україні на протязі всього часу повномасштабної російської агресії, зичить щастя та мирного неба всім українським хлопцям та дівчатам! Також він рекомендує українським трейдерам кращих біржових та бінарних брокерів, що мають приємні торгові умови та не співпрацюють з російською федерацією. А саме:

Exness – для доступу до валютного ринку;

RoboForex – для роботи з CFD-контрактами на акції;

Deriv – для опціонної торгівлі.

Ну, і звичайно ж, заборонену в росії компанію Альпарі, через яку Ви маєте можливість долучитися як до валютного ринку, так і до торгівлі акціями та бінарними опціонами (Fix-Contracts). Крім того, Альпарі ще цікава своїми інвестиційними можливостями. Дивіться, наприклад:

рейтинг ПАММ-рахунків;

рейтинг ПАММ-портфелів.

Все буде Україна!

Первый актив приносит инвестору большую полезность, поэтому:

При доказательстве критерия доминирования второго порядка для данного условия мы получили результат (П.8.15), из которого следовало, что:

Проинтегрируем второй интеграл в (П.8.16) по частям, обозначив его через J. Обозначим также . Отсюда , z располагается в диапазоне от r₁ до r_n. Тогда:

ИЛИ

Подставим интеграл (П.8.17) в (П.8.16):

В первом слагаемом неравенства (П.8.18) U'(r) > 0. Интеграл представляет собой разность между средними значениями распределения доходности F и G. По условию среднее значение F меньше G , поэтому интеграл отрицательный. В результате первое слагаемое в (П.8.18) отрицательное. Во втором слагаемом U"(r_n) < 0. Следовательно, для того, чтобы оно было положительным, двойной интеграл должен быть отрицательным. В третьем слагаемом U'''(r_n) > 0. Чтобы оно было отрицательным, необходимо, чтобы второй интеграл был отрицательным. Таким образом (П.8.18) меньше нуля, если:

Содержание

Далее