1.2.5.4. Риск портфеля из двух активов с минимальной дисперсией

Найдем уд. веса активов для портфеля с минимальной дисперсией. В таком портфеле вх =\-ву. Учитывая это, выразим равенство (1.22) через уд. вес 0Y:

Продифференцируем полученное выражение по GY:

Раскроем скобки и приравняем производную к нулю, чтобы найти минимум функции:

Отсюда:

Выражение (1.28) представляет собой минимум функции, поскольку вторая производная сгр по ву является величиной положительной.

Таким образом, при портфель с минимальной дисперсией должен быть представлен только бумагой X.

Пусть , тогда числитель и знаменатель выражения (1.28) будут величинами положительными, и при этом знаменатель больше числителя. Отсюда следует, что для отмеченного условия портфель с минимальной дисперсией формируется без осуществления короткой продажи одного из активов. Если , числитель равенства (1.28) меньше нуля, т.е. уд. Вес бумаги Y является отрицательной величиной. Поэтому портфель с минимальной дисперсией включает короткую продажу этого актива.

При нулевой корреляции доходностей двух активов из равенства (1.28) получим уд. вес бумаги Y портфеле с минимальной дисперсией как:

При из (1.29) следует, что дисперсия портфеля с минимальным риском равна дисперсии актива X, поскольку уд. вес актива Y должен быть равен нулю. Тогда при дисперсия портфеля меньше риска актива X. Таким образом, объединение двух активов с данной характеристикой позволяет получить дисперсию портфеля, которая меньше дисперсии каждого из входящих в него активов. Данный результат достигается без короткой продажи одного из активов. Если , дисперсия портфеля будет больше дисперсии актива X. Для того, чтобы дисперсия портфеля оказалась меньше дисперсии актива X необходимо осуществить короткую продажу актива F. Так, при corr_XY = 1 формула (1.28) дает результат:

ИЛИ

Соответственно .

Поскольку , то формирование портфеля с минимальной дисперсией требует короткой продажи актива F. Дисперсия портфеля с такими уд. весами активов будет минимальной и равной нулю.

Мы рассмотрели риск портфеля для случаев корреляции доходностеи активов +1, -1 и нулевой корреляции. Как следует из рассуждений, риск портфеля тем меньше, чем меньше корреляция доходностеи входящих в него активов. Поэтому инвестору следует объединять в портфель бумаги с наименьшей корреляцией. В этом случае он может снизить ожидаемый риск портфеля, не уменьшая его ожидаемой доходности. Поясним сказанное на примере.

Пример.

Имеются бумаги А и В с одинаковой ожидаемой доходностью 20% и бумаги С и D с доходностью 30%. Корреляция доходностеи бумаг А и С равна 0,8, бумаг В и D составляет 0,4. Инвестор может сформировать первый портфель из бумаг А и С и второй портфель из бумаг В и D. Бумаги с доходностью 20% он включает в портфели в уд. весе 0,3, а бумаги с доходностью 30% в уд. весе 0,7. Ожидаемая доходность и первого и второго портфеля одинакова и согласно формуле (1.1) равна:

Риск первого портфеля составляет:

Риск второго портфеля равен:

Таким образом, рациональный инвестор в нашем случае остановится на втором портфеле, так как он предлагает такой же уровень ожидаемой доходности, что и первый портфель, однако его риск меньше риска первого портфеля.

Знаете ли Вы, что: Форекс-брокер «NPBFX» выводит абсолютно все сделки своих клиентов на поставщиков ликвидности (на межбанковский рынок), работая по технологии STP/NDD (Straight-through processing – сквозная обработка транзакций / Non Dealing Desk).

Чтобы лучше представить идею и эффект диверсификации портфеля при различной корреляции доходностей активов, мы рассмотрели риск портфеля, состоящего только из двух бумаг. Общие выводы, которые можно сделать по результатам вышесказанного состоят в следующем:

1) если в портфель объединяются активы с корреляцией +1, достигается только усреднение, а не уменьшение риска;
2) при объединении в портфель активов с корреляцией меньше, чем +1, его риск уменьшается; чем меньше корреляция доходностей активов, тем меньше риск портфеля; уменьшение риска достигается при сохранении неизменного уровня ожидаемой доходности портфеля;
3) если в портфель объединяются активы с корреляцией -1, можно сформировать портфель без риска;
4) при формировании портфеля необходимо объединять в него активы с наименьшей корреляцией.

Основоположником современной теории портфеля является Г.Марковиц. Именно он предложил объединять активы с наименьшей корреляцией, чтобы снизить риск портфеля. Согласно Марковцу, чем меньше корреляция доходностей бумаг в портфеле, тем больше степень его диверсификации. Следует отметить, что диверсификация позволяет снизить риск портфеля для обычной конъюнктуры рынка. В условиях финансовых крахов сложившиеся корреляции между доходностями активов нарушаются, и динамика их доходностей будет такова, как если бы они имели корреляцию +1.

Содержание

Далее