Приложение 1. Вывод уравнения SML

Уравнение SML можно вывести на основе максимизации функции полезности инвесторов в условии равновесия на финансовом рынке при данном бюджетном ограничении. Условие равновесия означает, что спрос на ценные бумаги равен их предложению по существующим ценам с учетом риска бумаг, и инвесторы могут занимать и размещать средства под ставку без риска. Сумма всех занимаемых и предоставляемых в кредит средств равна нулю, поскольку в условиях равновесия количество капиталов, которые хотят занять инвесторы и предоставить в кредит, одинаково.

В рамках САРМ функция полезности k-го инвестора зависит от ожидаемой доходности и риска его портфеля, т.е. ее можно записать как:

Бюджетное ограничение сводится к использованию им всех собственных и доступных средств с учетом заимствования и кредитования.

Стандартным методом решения оптимизационной задачи на максимизацию является метод множителей Лагранжа. Искусственно создается и максимизируется функция Лагранжа вида:

На рынке действует п инвесторов, обращается т рискованных ценных бумаг и безрисковый долг, обозначим его как f. Общая капитализация рынка равна Рт , стоимость портфеля к -го инвестора - Рк , стоимость i-й бумаги в портфеле k-го инвестора - Р.к 9 стоимость безрискового долга к -го инвестора в форме заимствования или кредитования - Р#.

Обозначим уд. вес i-й бумаги k-го инвестора в общей капитализации рынка через в1к 9 уд. вес безрискового долга k-го инвестора в форме заимствования или кредитования в общей капитализации рынка через #д и уд. вес портфеля k-го инвестора в общей капитализации рынка через gk. Тогда:

Отсюда уд. веса i-й бумаги и безрискового долга в портфеле k-го инвестора равны:

Ожидаемая доходность портфеля k-го инвестора составляет:

Риск портфеля k-го инвестора равен:

Бюджетное ограничение инвестора состоит в использовании им всех доступных средств с учетом заимствования и кредитования, т.е. сумма всех уд. весов активов в портфеле должна быть равна единице:

Составим функцию Лагранжа:

Найдем частные производные уравнения (П.3.6) по 0ik:

На основании равенств (П.3.3) и (П.3.4) найдем производные :

и

Подставим значения производных из (П.3.8) и (П.3.9) в (П.3.7):

Найдем частные производные уравнения (П.3.6) по в ^ :

На основании равенств (П.3.3) и (П.3.4) найдем производные :

и

Подставим производные из (П.3.12) и (П.3.13) в (П.3.11):

Вычтем из уравнения (П.3.10) уравнение (П.3.14):

или

Уравнение (П.3.15) должно выдерживаться в условиях равновесия для всех бумаг и всех инвесторов, поскольку оно определено на основе максимизации их функции полезности.

Уравнение (П.3.15) можно записать как:

Равенство (П.3.16) выполняется для каждой бумаги, поэтому для каждой пары бумаг i и c справедливо соотношение:

или после сокращении одинаковых множителей:

Просуммируем по всем инвесторам равенство (П.3.17), левую часть равенства относительно бумаги i, а правую - бумаги c. Поскольку оно выполняется для всех бумаг и инвесторов, то равенство сохранится и для суммы. Сумма в по всем инвесторам даст уд. вес j-й бумаги в капитализации рынка. Обозначим его через . После суммирования получим:

Умножим числитель и знаменатель правой части формулы (П.3.18) на со:

Просуммируем правую часть равенства (П.3.19) по всем бумагам:

Значение дроби

после суммирования осталось таким же как и дроби

Слава Україні!

Адмін сайту, який є громадянином України та безвиїзно перебуває в Україні на протязі всього часу повномасштабної російської агресії, зичить щастя та мирного неба всім українським хлопцям та дівчатам! Також він рекомендує українським трейдерам кращих біржових та бінарних брокерів, що мають приємні торгові умови та не співпрацюють з російською федерацією. А саме:

Exness – для доступу до валютного ринку;

RoboForex – для роботи з CFD-контрактами на акції;

Deriv – для опціонної торгівлі.

Ну, і звичайно ж, заборонену в росії компанію Альпарі, через яку Ви маєте можливість долучитися як до валютного ринку, так і до торгівлі акціями та бінарними опціонами (Fix-Contracts). Крім того, Альпарі ще цікава своїми інвестиційними можливостями. Дивіться, наприклад:

рейтинг ПАММ-рахунків;

рейтинг ПАММ-портфелів.

Все буде Україна!

Поэтому приравняем их друг к другу:

В выражении (П.3.23) , т.е. равно ожидаемой доходности рыночного портфеля, а величина , поскольку сумма всех уд. весов ценных бумаг в экономике равна единице. Величина есть не что иное как дисперсия рыночного портфеля . Поэтому:

Подставим правую часть формулы (П.3.24) в формулу (П.3.23):

В формуле (П.3.25) есть не что иное как ковариация доходности i-й бумаги с доходностью рынка, т.е. cov_im. Подставим это значение в равенство (П.3.25):

Преобразуем его к виду:

Отношение – это коэффициент бета i-й бумаги. Соответственно формула (П.3.26) принимает вид:

Равенство (П.3.27) является уравнением SML модели САРМ.

Содержание

Далее