4.4. Определение рыночного портфеля при возможности заимствования и кредитования

При возможности заимствования и кредитования эффективная граница превращается в прямую линию, касательную к эффективной границе Марковца, как показано на рис. 4.17. Обозначим ее через Н. Она проходит через две точки: ставку без риска и рыночный портфель М, Чтобы найти портфель Л/, необходимо рассчитать уд. веса входящих в него активов. Решить задачу можно следующим образом. Рыночный портфель расположен на касательной к эффективной границе Марковца. Это значит, что угол наклона линии Н к горизонтальной оси графика является наибольшим по сравнению с другими линиями, которые можно провести через ставку без риска и остальные портфели на границе Марковца. Обозначим угловой коэффициент прямой Н через <р. Он равен отношению премии за риск рыночного портфеля к его риску:

Чтобы найти уд. веса активов в портфеле M, необходимо максимизировать значение целевой функции <р при условии, что . Решим данную задачу для случая, когда короткие продажи разрешены.

В функции (4.16) риск портфеля равен:

Запишем его как:

Для нахождения максимума функции (4.16) необходимо учесть ограничение. Поскольку оно имеет вид , то включим его непосредственно в числитель уравнения (4.16) следующим образом:

Также учтем, что . Функция (4.16) принимает вид:

ИЛИ

Чтобы определить максимум функции (4.17), надо найти ее частные производные по 0, и приравнять их к нулю.

Найдем производную функции <р по вк в общем виде:

Умножим (4.18) на и преобразуем:

или

В равенстве (4.19) величина является константой, поскольку это премия за риск рыночного портфеля, деленная на его риск, измеренный дисперсией. Обозначим ее через Л. Тогда:

или

или

Обозначим величины . Тогда (4.20) запишется как:

На основе равенства (4.21) для п бумаг составляем систему из п уравнений с п неизвестными:

Решив данную систему уравнений получим значения z;. Согласно определению значений zt они пропорциональны величинам #;. Коэффициент пропорциональности - это Я. Поэтому определить уд. веса активов в рыночном портфеле можно из отношения:

Поясним представленный алгоритм определения рыночного портфеля на примере для трех бумаг.

Знаете ли Вы, что: участвуя в программе лояльности от Форекс-брокера NPBFX, Вы в зависимости от наторгованного Вами оборота можете получить в подарок iPad, iPhone, планшетный компьютер и даже автомобиль «BMW».

Пример 1.

Пусть все множество рискованных активов представлено только тремя бумагами. Стандартное отклонение доходности первой (в десятичных значениях) равно 0,2, второй - 0,3 , третьей - 0,4. Ковариация доходностей первой и второй бумаг составляет 0,048, первой и третьей - 0,056, второй и третьей - 0,108. Ожидаемая доходность первой бумаги равна 12%, второй - 16%, третьей - 22%, ставка без риска - 5%. Определить уд. веса бумаг в рыночном портфеле.

Решение.

Запишем систему уравнений (4.22):

или

Решая систему (4.23) получаем:

Таким образом, первую и третью бумаги следует купить в уд. весах 66,67% и 92,98%, а вторую продать в уд. весе 59,64%. Ожидаемая доходность и риск рыночного портфеля составят:

Содержание

Далее