Нечувствительность к размеру выборки

Чтобы оценить вероятность появления того или иного результата в выборке, сделанной из определенного множества, люди обычно полагаются на репрезентативность. Например, пытаясь определить вероятность того, что средний рост случайно отобранных 10 мужчин будет равен 180 см, используют средний рост всех мужчин. При таком подходе получается, что схожесть статистических параметров выборки с корреспондирующими параметрами исходного множества не зависит от размера выборки.

Следовательно, если при оценке вероятностей используется репрезентативность, то оцениваемая вероятность выборочной статистики перестает зависеть от размера выборки.

На практике именно так все и происходит. Например, когда люди пытаются оценить распределение среднего роста мужчин для выборок различных объемов, то устанавливают их одинаковыми. Вероятность того, что у мужчины будет рост выше 6 футов (182,88 см), была установлена одинаковой для выборок, содержащих 1000, 100 и 10 мужчин. Более того, оказалось, что люди не в состоянии правильно оценить роль размера выборки даже тогда, когда на нем акцентируется внимание в формулировке проблемы. Рассмотрим следующий эксперимент.

Город обслуживается двумя госпиталями. В крупном госпитале каждый день рождается около 45 детей, а в небольшом – около 15 детей. Как известно, примерно 50% всех новорожденных оказываются мальчиками. Однако темные пропорции меняются изо дня в день. Иногда доля мальчиков может превышать 50%, а иногда быть меньше 50%.

За период, охватывающий один год, каждый госпиталь создал статистику дней, в которые доля мальчиков среди новорожденных превышала 60%. Как вы думаете, в каком госпитале оказалось больше таких дней?

Вот какие ответы дали 95 опрошенных (цифры в скобках обозначают количество людей, давших этот ответ).

Крупный госпиталь (21)
Небольшой госпиталь (21)
Примерно одинаково (53)

Как видим, большинство опрошенных оценило вероятность того, что доля мальчиков среди новорожденных превысит 60%, одинаковой как для крупного, так и для небольшого госпиталя. Отвечая подобным образом, люди руководствовались, скорее всего, тем, что события описаны одинаковой статистикой, а значит, одинаково представительны по общему множеству.

Однако руководствуясь теорией статистики (и самыми простыми соображениями), можно быстро сообразить, что ожидаемое количество дней, в которых доля мальчиков среди новорожденных превысит 60%, будет значительно большим для малого госпиталя, нежели для крупного. Почему?

Дело в том, что чем крупнее выборка, тем меньше вероятность того, что доля мальчиков в новорожденных может отклониться от «нормальных» 50%.

Схожий эффект был обнаружен при исследовании апостериорных вероятностей, т. е. вероятностей того, что выборка была получена из одного множества, а не из другого.

Рассмотрим еще один эксперимент.

Представьте себе урну, полную шаров, из которых 2/3 – одного цвета, а 1/3 – другого. Индивидуум вытаскивает 5 шаров из урны и обнаруживает среди добытых шаров 4 красных и 1 белый. Другой индивидуум вытаскивает из урны 20 шаров и обнаруживает, что 12 из них – красные, а остальные 8 – белые.

Какой из этих двух индивидуумов будет более уверен в том, что урна содержит 2/3 красных и 1/3 белых шаров, а не в обратном? Какие вероятности установит каждый индивидуум?

В этом эксперименте правильные апостериорные вероятности (в условиях равных базовых вероятностей) равны 8 к 1 – для выборки 4 : 1 и 16 к 1 – для выборки 12: 8. Но, несмотря на это, большинство людей почувствует, что первая выборка предоставляет намного более значимые сведения в пользу доминирования в урне красных шаров, так как их пропорция в первой выборке выше, чем во второй. Здесь опять интуитивное суждение полностью полагается на качественный состав выборки и полностью игнорирует ее размер, который играет решающую роль при определении истинных апостериорных вероятностей.

В дополнение к этому интуитивные оценки апостериорных вероятностей оказываются намного менее экстремальными, нежели их истинные значения. Подобное было названо эффектом консерватизма [conservatism].

Вот любопытная иллюстрация этого эффекта, которую можно найти в работе Варда Эдвардса. Сумка вмещает 1000 фишек. У нас две такие сумки. В одной сумке 300 красных и 700 синих фишек, а в другой – 700 красных и 300 синих фишек. Берем «честную» монету и подбрасываем ее, для того чтобы определить, какую из двух сумок взять. Если ваша точка зрения совпадает с моей, то вероятность того, что нам досталась сумка, где доминируют красные фишки, равна 0,5. Теперь начинаем, не глядя, абсолютно случайным образом, вынимать по одной фишке из сумки (каждую вынутую фишку немедленно возвращаем обратно в сумку). Подобным образом вынимаем 12 фишек. Среди вытащенных 12 фишек оказывается 8 красных и 4 синих.

Как вы думаете, какова вероятность того, что мы имеем дело с сумкой, в которой доминируют красные фишки? Очевидно, что теперь эта вероятность стала выше 0,5.

Теперь запишите свою оценку вероятности.

Если вы ведете себя, как большинство людей, то ваша оценка попадает в промежуток от 0,7 до 0,8. Истинная же вероятность (рассчитанная с учетом всех имеющихся у нас данных) равна 0,97. Значит, вы слишком консервативны.

Содержание

Далее